有限差分 WENO（Weighted Essentially Non-oscillatory）格式是一类高精度 激波捕捉格式，在过去的二十年时间里，这类格式十分流行. 目前流行的有限差 分 WENO 格式都是基于 Jiang 和 Shu 提出的通用框架.

WENO 格式自提出以来，在可压缩流动高精度模拟等领域获得了广泛的应 用. 同时，针对在实际应用中发现的不足之处，人们提出了各种 WENO 格式的改 进方法，以提升格式的分辨率、鲁棒性或计算效率. 总体而言，当前 WENO 格式 的研究多表现在具体方法的改进及应用方面，在 WENO 格式的理论基础方面的 研究成果则相对较少.

基于这一观察，本文着重讨论有限差分 WENO 格式的理论基础.

首先，我们注意到了一个有趣的事实，对于近似 1 阶导数的有限差分 WENO 格式而言，构造格式所需要的线性组合一定存在，即使在整个模版上应用的格式 是降低精度的优化格式. 然而，对于近似 2 阶导数的有限差分 WENO 格式而言， 情况就变得有些不一样了. 即使是在均匀网格的环境下，WENO 式线性组合也有 可能不存在. 基于这一观察，我们系统地研究了有限差分格式在怎样的前提条件 下存在所需要的 WENO 式线性组合，并给出了一个充分必要条件. 这里需要注 意的是，这是一个集合里所有格式（而不是一个具体的格式）存在 WENO 式线 性组合的充分必要条件.

基于前面提到的充分必要条件，我们讨论了最近由 Fu 等提出的 targeted essentially non-oscillatory（TENO）格式. 从 TENO 格式的构造过程中受到启发，我 们得到了有限差分 WENO 格式的理想权重公式. 具体说来，我们先得到了均匀 网格上有限差分 WENO 格式的理想权重公式，然后又将这一结果泛化至非均匀 网格上，得到了 WENO 理想权重的通用表达式.

基于均匀网格上有限差分 WENO 格式理想权重的表达式，我们分别对迎风 型和中心型有限差分 WENO 格式的理想权重证明了单调性，并给出了最大理想 权重和最小理想权重的渐近估计. 利用迎风型有限差分 WENO 格式的最大理想 权重出现的位置，结合格式的谱特性，我们提出了高阶精度有限差分 WENO 格 式所蕴含的洋葱式分层/变宽度子模版结构.

最后，基于前面提到的洋葱式结构，我们使用最近流行的机器学习技术，构 造了一个两层的洋葱格式. 该格式为 1 阶精度迎风格式和 3 阶精度迎风格式的加 权平均，权重函数由强化学习技术训练得出. 我们使用洋葱格式计算了 Sod 问题、 Lax 问题和 123 问题的数值解. 从这几个问题的数值解可以看出基于强化学习的 列表洋葱格式结合了 1 阶精度迎风格式和 3 阶精度迎风格式的优点.